Question

3．已知曲線C：（t+1）x²+y²-2（a²+2at）x+3at+b=0，直線l：y=t（x-1），若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，曲線C恒過(guò)一定點(diǎn)P（1，0）
（1）求定值a，b．
（2）直線l截曲線C所得弦長(zhǎng)為d，記f（t）=$\fracsety5d8{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，則當(dāng)t為何值時(shí)，f（t）有最大值，最大值是多少？
（3）若點(diǎn)M（x₀，y₀）在曲線C上，又在直線l上，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線C恒過(guò)定點(diǎn)P（1，0），可得出（t+1）-2（a²+2at）+3at+b=0恒成立，即（1-a）t+1-2a²+b=0恒成立，即可求定值a，b．
（2）求出f（t）=$\frac{2|t|}{{t}^{2}+t+1}$=$\frac{2}{|t+\frac{1}{t}+1|}$．分類討論，即可得出結(jié)論；
（3）由題設(shè)知x₀是方程（*）的解，x₀=1或x₀=$\frac{{t}^{2}+3t+1}{{t}^{2}+t+1}$，利用△=（3x₀-5）（x₀+1）≤0，求x₀的取值范圍．

解答 解：（1）∵曲線C恒過(guò)定點(diǎn)P（1，0），∴（t+1）-2（a²+2at）+3at+b=0恒成立，
即（1-a）t+1-2a²+b=0恒成立，
∴a=1，b=1．
（2）由（1）知曲線C為：（t+1）x²+y²-2（1+2t）x+3t+1=0，
以y=t（x-1）代入得（t²+t+1）x²-2（t+1）²x+t²+3t+1=0（*），
∴x₁=1，x₂=$\frac{{t}^{2}+3t+1}{{t}^{2}+t+1}$，
∴d=$\sqrt{1+{t}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{2|t|\sqrt{1+{t}^{2}}}{{t}^{2}+t+1}$，
∴f（t）=$\frac{2|t|}{{t}^{2}+t+1}$=$\frac{2}{|t+\frac{1}{t}+1|}$．（t≠0，否則y=0，f（t）=0）
當(dāng)t＞0時(shí)，|t+$\frac{1}{t}$+1|=t+$\frac{1}{t}$+1≥3，這時(shí)f（t）≤$\frac{2}{3}$；
當(dāng)t＜0時(shí)，t+$\frac{1}{t}$≤-2，t+$\frac{1}{t}$+1≤-1，|t+$\frac{1}{t}$+1|≥1，這時(shí)f（t）≤2，（t=-1時(shí)取等號(hào)）．
綜上討論：f（t）_max=2，這時(shí)t=-1．
（3）由題設(shè)知x₀是方程（*）的解，∴x₀=1或x₀=$\frac{{t}^{2}+3t+1}{{t}^{2}+t+1}$，
當(dāng)（x₀-1）t²+（x₀-3）t+x₀-1=0，x²≠1時(shí)必須有△=（3x₀-5）（x₀+1）≤0．
∴x₀∈[-1，$\frac{5}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線過(guò)定點(diǎn)，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．