Question

15．已知橢圓C方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，過右焦點斜率為l的直線到原點的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（2，0），過點M的直線與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點，當(dāng)線段EF的中點落在由四點C₁（-1，0），C₂（1，0），B₁（0，-1），B₂（0，1）構(gòu)成的四邊形內(nèi)（包括邊界）時，求直線斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)右焦點為（c，0），過右焦點斜率為l的直線方程為：y=x-c，則原點到直線的距離可得c=1，a=$\sqrt{2}$，得到橢圓方程．
（Ⅱ）顯然直線的斜率k存在，所以可設(shè)直線的方程為y=k（x+2），設(shè)點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段EF的中點為G（x₀，y₀），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式以及韋達(dá)定理，通過點G在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}≤{x}_{0}+1}\\{{y}_{0}≥-{x}_{0}-1}\end{array}\right.$ 求解k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)右焦點為（c，0），
則過右焦點斜率為l的直線方程為：y=x-c …（1分）
則原點到直線的距離d=$\frac{|c|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$     得c=1，a=$\sqrt{2}$ …（3分）
所以$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$  …（4分）
（Ⅱ）顯然直線的斜率k存在，所以可設(shè)直線的方程為y=k（x+2），
設(shè)點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
線段EF的中點為G（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0
由△=（8k²）-4（1+2k²）（8k²-2）＞0解得$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$ …（1）…（7分）
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
于是：x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$       …（8分）
因為x₀=$-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$≤0，所以點G不可能在y軸的右邊，
又直線C₁B₁，C₁B₁方程分別為y=x+1，y=-x-1．
所以點G在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}≤{x}_{0}+1}\\{{y}_{0}≥-{x}_{0}-1}\end{array}\right.$ 即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2k}{1+2{k}^{2}}≤\frac{-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+1}\\{\frac{2k}{1+2{k}^{2}}≥\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-1}\end{array}\right.$  亦即$\left\{\begin{array}{l}{2{k}^{2}+2k-1≤0}\\{2{k}^{2}-2k-1≤0}\end{array}\right.$  …（10分）
解得$-\frac{\sqrt{3}-1}{2}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，…（2）
由（1）（2）知，直線斜率的取值范圍是[$-\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$]．       …（12分）

點評 本題橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，范圍問題的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．