Question

17．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為1，前n項(xiàng)和為S_n，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，則$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{{{S_{15}}}}$=$\frac{15}{8}$．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，求出d=1，從而$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{{{S_{15}}}}$的值．

解答 解：∵公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為1，前n項(xiàng)和為S_n，
且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴${{（a}_{1}+d）}^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）$，
即（1+d）²=1+3d，
解得d=1或d=0（舍），
∴S_n=$n+\frac{n（n-1）}{2}×1$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{{{S_{15}}}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{15}-\frac{1}{16}$）=$\frac{15}{8}$．
故答案為：$\frac{15}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列中前n項(xiàng)和的倒數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．