Question

8．已知$\overrightarrow$=（-3，4），$\overrightarrow{c}$=（1，-1）并與向量$\overrightarrow{a}$的關(guān)系為$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$+2$\overrightarrow{c}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)；
（2）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，求得向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)．
（2）設(shè)$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$夾角為θ，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$） 的值，再求得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$|和|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的值，可得cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|}$ 的值．

解答 解：（1）∵已知$\overrightarrow$=（-3，4），$\overrightarrow{c}$=（1，-1）并與向量$\overrightarrow{a}$的關(guān)系為$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$+2$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$+2$\overrightarrow{c}$=（-3，4）+（2，-2）=（-1，2）；$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$=（-1，2）+（1，-1）=（0，1）；
$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=（-1，2）-（1，-1）=（-2，3）．
（2）設(shè)$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$夾角為θ，∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）=（0，1）•（-2，3）=0+3=3，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|}$=$\frac{3}{1×\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．