Question

16．為了研究一種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x是否有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表中，并做出了散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)并沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量并不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)分別用模型①$y={C_1}{x^2}+{C_2}$與模型；②$y={e^{{C_3}x+{C_4}}}$作為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系．

溫度x/°C	20	22	24	26	28	30	32
產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)	6	10	21	24	64	113	322
t=x2	400	484	576	676	784	900	1024
z=lny	1.79	2.30	3.04	3.18	4.16	4.73	5.77

$\overline x$	$\overline t$	$\overline y$	$\overline z$
26	692	80	3.57
$\frac{{\sum_{i=1}^7{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$	$\frac{{\sum_{i=1}^7{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$	$\frac{{\sum_{i=1}^7{（{z_i}-\overline z）（{x_i}-\overline x）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$	$\frac{{\sum_{i=1}^7{（{z_i}-\overline z）（{t_i}-\overline t）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$
1157.54	0.43	0.32	0.00012

其中${t_i}={x_i}^2$，$\overline t=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^7{t_i}$，z_i=lny_i，$\overline z=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^7{z_i}$，
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（μ₁，ν₁），（μ₂，ν₂），…（μ_n，ν_n），其回歸直線v=βμ+α的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：$β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{μ_i}-\bar μ）（{ν_i}-\bar ν）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{μ_i}-\bar μ）}^2}}}}$，$α=\bar ν-β\bar μ$
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，分別建立兩個(gè)模型下y關(guān)于x的回歸方程；并在兩個(gè)模型下分別估計(jì)溫度為30°C時(shí)的產(chǎn)卵數(shù)．（C₁，C₂，C₃，C₄與估計(jì)值均精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)據(jù)：e^4.65≈104.58，e^4.85≈127.74，e^5.05≈156.02）
（2）若模型①、②的相關(guān)指數(shù)計(jì)算分別為${R_1}^2=0.82，{R_2}^2=0.96$．，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)指數(shù)判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)模型①，模型②求出回歸方程，計(jì)算x=30時(shí)估計(jì)產(chǎn)卵數(shù)即可；
（2）根據(jù)相關(guān)指數(shù)的大小，即可比較模型擬合效果的優(yōu)劣．

解答 解：（1）對(duì)于模型①：設(shè)t=x²，則$y={C_1}{x^2}+{C_2}={C_1}t+{C_2}$，
其中${C_1}=\frac{{\sum_{i=1}^7{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}=0.43$，…（1分）
${C_2}=\overline y-{C_1}\overline t=80-0.43×692=-217.56$；…（3分）
所以y=0.43x²-217.56，…（4分）
當(dāng)x=30時(shí)，估計(jì)產(chǎn)卵數(shù)為
${y_1}=0.43×{30^2}-217.56=169.44$；…（5分）
對(duì)于模型②：設(shè)z=lny，則lny=C₃x+C₄，
其中${C_3}=\frac{{\sum_{i=1}^7{（{z_i}-\overline z）（{x_i}-\overline x）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=0.32$，…（6分）
${C_4}=\overline z-{C_3}\overline x=3.57-0.32×26=-4.75$；…（8分）
所以y=e^0.32x-4.75，…（9分）
當(dāng)x=30時(shí)，估計(jì)產(chǎn)卵數(shù)為
${y_2}={e^{0.32×30-4.75}}={e^{4.85}}=127.74$；…（10分）
（2）因?yàn)?{R_1}^2=0.82，{R_2}^2=0.96$，
${R_1}^2＜{R_2}^2$，
所以模型②的擬合效果更好．   …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，也考查了相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用問題，是難題．