Question

4．已知點(diǎn)P（1+cosα，sinα），參數(shù)為α，點(diǎn)Q在曲線C：ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$上．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)P（1+cosα，sinα），知$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，參數(shù)為α，由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程；由點(diǎn)Q在曲線C：ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$上，知ρsinθ+ρcosθ=9，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）圓心（1，0），半徑r=1，圓心（1，0）到直線x+y-9=0的距離d=4$\sqrt{2}$，由此能求出點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間距離的最小值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（1+cosα，sinα），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，參數(shù)為α，
由sin²θ+cos²θ=1，得點(diǎn)P的軌跡方程為（x-1）²+y²=1．
∵點(diǎn)Q在曲線C：ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$上．
∴$ρ\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$=9，
即ρsinθ+ρcosθ=9，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x+y-9=0．
（2）圓心（1，0），半徑r=1，
圓心（1，0）到直線x+y-9=0的距離d=$\frac{|1+0-9|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間距離的最小值為4$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程和直角坐標(biāo)方程的求法，考查兩點(diǎn)間距離的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．