Question

4．若正數(shù)a，b，c滿足$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}$=$\frac{a+b}{c}$+1，則$\frac{a+b}{c}$的最小值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}$=$\frac{a+b}{c}$+1變形可得$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}$+$\frac{a+b}{c}$=2（$\frac{a+b}{c}$）+1，又由基本不等式的性質分析可得$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}$+$\frac{a+b}{c}$=$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}$+$\frac{c}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$≥6，即可得2（$\frac{a+b}{c}$）+1≥6，化簡可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}$=$\frac{a+b}{c}$+1，則有$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}$+$\frac{a+b}{c}$=2（$\frac{a+b}{c}$）+1，
而$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}$+$\frac{a+b}{c}$=$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}$+$\frac{c}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$=（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}$+$\frac{c}$）≥2+2+2=6，
則有2（$\frac{a+b}{c}$）+1≥6，
化簡可得$\frac{a+b}{c}$≥$\frac{5}{2}$，即$\frac{a+b}{c}$的最小值是$\frac{5}{2}$；
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查基本不等式的運用，關鍵是對等式變形，配湊基本不等式使用的條件．