Question

18．若函數(shù)f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$在區(qū)間（m，2m+1）上是單調遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （-1，0]
• B． （-1，0）
• C． [0，1]
• D． （0，1]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對函數(shù)f（x）求導，可得f′（x）=$\frac{4（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）}$，令f′（x）≥0，解可得函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間，而由條件函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調遞增便可得出關于m的不等式組，從而求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，
其導數(shù)f′（x）=$\frac{（4x）′（{x}^{2}+1）-（4x）（{x}^{2}+1）′}{（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{4（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）}$，
若f′（x）≥0，即$\frac{4（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）}$≥0，解可得-1≤x≤1；
即區(qū)間[-1，1]是f（x）的單調遞增區(qū)間；
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上是單調遞增函數(shù)，
則有$\left\{\begin{array}{l}{m≥-1}\\{2m+1≤1}\\{m＜2m+1}\end{array}\right.$，解可得-1＜m≤0，
即m的取值范圍為（-1，0]；
故選：A．

點評 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的方法，一元二次不等式的解法，關鍵是求出函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．