Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，若點(diǎn)M在雙曲線上，且滿足△ABM為一個(gè)頂角為120°的等腰三角形，則雙曲線的漸近線方程是（　　）

• A． y=±x
• B． y=±$\sqrt{2}$x
• C． y=±2x
• D． y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，得到Rt△BNM，通過求解直角三角形得到M坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得a與b的關(guān)系，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，求出a=b．即可得到漸近線方程．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
如圖所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，
過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，則∠MBN=60°，
在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=2a，∠MBN=60°，
即有|BN|=2acos60°=a，|MN|=2asin60°=$\sqrt{3}$a，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（2a，$\sqrt{3}$a）；
將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得：$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{^{2}}$=1，
化簡(jiǎn)可得：a²=b²，
即雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
其雙曲線的漸近線方程為：：y=±x；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，涉及直線與雙曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．