Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的最大值.

（參考數(shù)據(jù)， ， ）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，由，且，即可求解再點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)， ，求得，從而得到在， 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，確定函數(shù)的極值，再根據(jù)零點(diǎn)的存在定理，即可得到函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

（3）由題意知， 對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，得，從而判定出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到存在， ，即，得到函數(shù)的最小值，再由

，所以的取值范圍，得出結(jié)論.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， .因?yàn)?/span>，從而.

又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程，

即.

（2）當(dāng)時(shí)， .因?yàn)?/span>，從而，

當(dāng)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí)， 有極小值.

因， ，所以在之間有一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)?/span>，所以在之間有一個(gè)零點(diǎn).

從而有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

（3）由題意知， 對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立.

令，則.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)， ，所以在為增函數(shù).

因?yàn)?/span>， ，

所以存在， ，即.

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí)， 的最小值.

因?yàn)?/span>，所以.

故所求的整數(shù)的最大值為.