Question

10．葫蘆島市某高中進行一項調查：2012年至2016年本校學生人均年求學花銷y（單位：萬元）的數據如表：

年份	2012	2013	2014	2015	2016
年份代號x	1	2	3	4	5
年求學花銷y	3.2	3.5	3.8	4.6	4.9

（1）求y關于x的線性回歸直線方程；
（2）利用（1）中的回歸直線方程，分析2012年至2016年本校學生人均年求學花銷的變化情況，并預測該地區(qū)2017年本校學生人均年求學花銷情況．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
$\left\{\begin{array}{l}{\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}}\\{\widehat{a}=\overline{y}-\overline{bx}}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）由題意計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，寫出回歸直線方程；
（2）根據（1）的回歸直線方程中$\stackrel{∧}$的值，得出本校學生人均年求學花銷情況，
再計算x=6時$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）由題意，計算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（3.2+3.5+3.8+4.6+4.9）=4，
$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-2）×（-0.8）+（-1）×（-0.5）+0×（-0.2）+1×0.6+2×0.9=4.5，
$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=（-2）²+（-1）²+0²+1²+2²=10，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{（x}_{i}-\overline{x}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{5}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{4.5}{10}$=0.45，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=4-0.45×3=2.65，
∴y關于x的線性回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.45x+2.65；
（2）根據（1）的回歸直線方程中$\stackrel{∧}$=0.45＞0，
∴2012年至2016年本校學生人均年求學花銷逐年增加，平均每年增加0.45萬元；
當x=6時，$\stackrel{∧}{y}$=0.45×6+2.65=5.35，
∴預測該地區(qū)2017年本校學生人均年求學花銷為5.35萬元．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，是基礎題．