Question

20．某校從高一年級隨機抽取了20名學生第一學期的數學學期綜合成績和物理學期綜合成績，列表如下：

學生序號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
數學學期綜合成績	96	92	91	91	81	76	82	79	90	93
物理學期綜合成績	91	94	90	92	90	78	91	71	78	84
學生序號	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
數學學期綜合成績	68	72	79	70	64	61	63	66	53	59
物理學期綜合成績	79	78	62	72	62	60	68	72	56	54

規(guī)定：綜合成績不低于90分者為優(yōu)秀，低于90分為不優(yōu)秀．
（Ⅰ）對優(yōu)秀賦分2，對不優(yōu)秀賦分1，從這20名學生中隨機抽取2名學生，若用ξ表示這2名學生兩科賦分的和，求ξ的分布列和數學期望；
（Ⅱ）根據這次抽查數據，列出2×2列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為物理成績與數學成績有關？
附：${K}^{2}=\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意知ξ的可能取值，計算對應的概率值，寫出ξ的分布列，計算數學期望值；
（Ⅱ）根據這次抽查數據，填寫列聯表，計算K²，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）根據題意，ξ的可能取值為4，5，6，7，8；
又P（ξ=4）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{33}{95}$，P（ξ=5）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{24}{95}$，
P（ξ=6）=$\frac{{C}_{3}^{2}{+C}_{4}^{1}{•C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{27}{95}$，P（ξ=7）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{8}{95}$，
P（ξ=8）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{3}{95}$；
所以ξ的分布列為；

ξ	4	5	6	7	8
P	$\frac{33}{95}$	$\frac{24}{95}$	$\frac{27}{95}$	$\frac{8}{95}$	$\frac{3}{95}$

ξ的數學期望為Eξ=4×$\frac{33}{95}$+5×$\frac{24}{95}$+6×$\frac{27}{95}$+7×$\frac{8}{95}$+8×$\frac{3}{95}$=$\frac{26}{5}$；
（Ⅱ）根據這次抽查數據，列出2×2列聯表如下：

	數學優(yōu)秀	數學不優(yōu)秀	合計
物理優(yōu)秀	4	2	6
物理不優(yōu)秀	2	12	14
合計	6	14	20

計算K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{20{×（4×12-2×2）}^{2}}{6×14×6×14}$≈5.488＞5.024，
所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為物理成績與數學成績有關．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，也考查了獨立性檢驗的應用問題，是中檔題．