7.在銳角△ABC中,$B>\frac{π}{6}$,$sin({A+\frac{π}{6}})=\frac{3}{5}$,$cos({B-\frac{π}{6}})=\frac{4}{5}$,則sin(A+B)=$\frac{24}{25}$.

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的正弦公式,求得sin(A+B)=sin[(A+$\frac{π}{6}$)+(B-$\frac{π}{6}$)]的值.

解答 解:∵銳角△ABC中,$B>\frac{π}{6}$,$sin({A+\frac{π}{6}})=\frac{3}{5}$,$cos({B-\frac{π}{6}})=\frac{4}{5}$,
∴cos(A+$\frac{π}{6}$)=$\sqrt{{1-sin}^{2}(A+\frac{π}{6})}$=$\frac{4}{5}$,sin(B-$\frac{π}{6}$)=$\sqrt{1{-cos}^{2}(B-\frac{π}{6}})$=$\frac{3}{5}$,
則sin(A+B)=sin[(A+$\frac{π}{6}$)+(B-$\frac{π}{6}$)]=sin(A+$\frac{π}{6}$)cos(B-$\frac{π}{6}$)+cos(A+$\frac{π}{6}$)cos(B-$\frac{π}{6}$)]=$\frac{3}{5}•\frac{4}{5}$+$\frac{4}{5}•\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$,
故答案為:$\frac{24}{25}$.

點(diǎn)評(píng) 本同題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的正弦公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

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