Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，則下列結論正確的是（　�。�

• A． 若f′（x₀）=0，則x₀是f（x）的極值點
• B． 函數(shù)f（x）的圖象關于原點中心對稱
• C． 若x₀是f（x）的極小值點，則f（x）在區(qū)間（-∞，x₀）上單調(diào)遞減
• D． ?x₀∈R，f（x₀）=0

Answer 1

分析 A．不正確，例如取f（x）=x³，f′（0）=0，而0不是函數(shù)f（x）的極值點．
B．f′（x）=3x²+2ax+b，f^″（x）=6x+2a，令f^″（x）=0，解得x=-$\frac{a}{3}$，可得函數(shù)f（x）關于點$（-\frac{a}{3}，f（-\frac{a}{3}））$中心對稱，即可判斷出正誤．
C．令f′（x）=3x²+2ax+b=3（x-x₀）（x-x₁）=0，若x₀是f（x）的極小值點，則x₁是函數(shù)f（x）的極大值點，可得x₁＜x₀，即可判斷出正誤．
D．由x→-∞時，f（x）→-∞，x→+∞時，f（x）→+∞，可得?x₀∈R，f（x₀）=0．

解答 解：A．若f′（x₀）=0，則x₀是f（x）的極值點，不正確，
例如取f（x）=x³，f′（0）=0，而0不是函數(shù)f（x）的極值點．
B．f′（x）=3x²+2ax+b，f^″（x）=6x+2a，令f^″（x）=0，解得x=-$\frac{a}{3}$，
∴函數(shù)f（x）關于點$（-\frac{a}{3}，f（-\frac{a}{3}））$中心對稱，因此f（x）的圖象關于原點不一定中心對稱，不正確．
C．令f′（x）=3x²+2ax+b=3（x-x₀）（x-x₁）=0，若x₀是f（x）的極小值點，
則x₁是函數(shù)f（x）的極大值點，可得x₁＜x₀，
則f（x）在區(qū)間（-∞，x₀）上不具有單調(diào)性，因此不正確．
D．∵x→-∞時，f（x）→-∞，x→+∞時，f（x）→+∞，因此?x₀∈R，f（x₀）=0，正確．
故選：D．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．