Question

己知函數(shù)在處的切線斜率為.

（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，對使得恒成立，求正實數(shù)的取值范圍；

（3）證明：.

 

Answer 1

（1）；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2） （3）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）由及處的切線斜率為，可得，即可求得，故，由及即可求得的單調(diào)區(qū)間；

（2）由，，使得恒成立，只須，由（1）可求得，因為，故只須，即可求得.

（3）要證明,

只須證，即證，由（1）易知，當時，，為減函數(shù)，，即，故當時，，，進而再利用裂項放縮，即可證明結(jié)果成立.

試題解析：（1）由已知：，∴由題知，解得；

于是，

當時，，為增函數(shù)，

當時，，為減函數(shù)，

即的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由（1），，即的最大值為，

由題知：對，，使得恒成立，

只須，

，

∴ 只須，解得．

（3）要證明．

只須證，

只須證．

由（1）當時，，為減函數(shù)，

，即，∴ 當時，，

，

．

考點：利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性；不等式恒成立；裂項放縮證明不等式.