【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過原點且斜率為1的直線交橢圓于兩點，四邊形的周長與面積分別為12與.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與圓相切，且與橢圓交于兩點，求原點到的中垂線的最大距離.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）不妨設(shè)點是第一象限的點，由四邊形的周長求出，面積求出與關(guān)系，再由點在直線上，得到與關(guān)系，代入橢圓方程，求解即可；

（2）先求出直線斜率不存在時，原點到的中垂線的距離，斜率為0時與橢圓只有一個交點，直線斜率存在時，設(shè)其方程為，利用與圓相切，求出關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出中點坐標，得到的中垂線方程，進而求出原點到中垂線的距離表達式，結(jié)合關(guān)系，即可求出結(jié)論.

（1）不妨設(shè)點是第一象限的點，

因為四邊形的周長為12，所以，，

因為，所以，

得，點為過原點且斜率為1的直線與橢圓的交點，

即點在直線上，點在橢圓上，

所以，即，

解得或（舍），

所以橢圓的標準方程為.

（2）當直線的斜率不存在時，直線為，

線段的中垂線為軸，原點到軸的距離為0.

當直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，依題意可設(shè)，

因為直線與圓相切，所以，

設(shè)，，聯(lián)立，

得，

由，得，又因為，所以，

所以，

所以的中點坐標為，

所以的中垂線方程為，

化簡，得，

原點到直線中垂線的距離，

當且僅當，即時，等號成立，

所以原點到的中垂線的最大距離為.

練習冊系列答案
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【題目】如圖所示，在四棱臺中，底面，四邊形為菱形，，.

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【題目】下列各對事件中,不是相互獨立事件的有( )

A.運動員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”

B.甲乙兩運動員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”

C.甲乙兩運動員各射擊一次,“甲乙都射中目標”與“甲乙都沒有射中目標”

D.甲乙兩運動員各射擊一次,“至少有1人射中目標”與“甲射中目標但乙未射中目標”

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【題目】設(shè)橢圓()的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.

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【題目】如圖所示,A,B分別是橢圓C:=1(a>b>0)的左右頂點,F為其右焦點,2是|AF|與|FB|的等差中項,是|AF|與|FB|的等比中項.點P是橢圓C上異于A,B的任一動點,過點A作直線l⊥x軸.以線段AF為直徑的圓交直線AP于點A,M,連接FM交直線l于點Q.

(1)求橢圓C的方程;

(2)試問在x軸上是否存在一個定點N,使得直線PQ必過該定點N?若存在,求出點N的坐標,若不存在,說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，、為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，且.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)直線，過點的直線交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線分別交直線、直線于、兩點，當最小時，求直線的方程.

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【題目】隨著科學技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活，網(wǎng)購作為一種新的消費方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價比高等優(yōu)勢而深受廣大消費者認可.某網(wǎng)購公司統(tǒng)計了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數(shù))：

x

1

2

3

4

5

y(萬人)

20

50

100

150

180

（1）試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人；

（2）該公司為了吸引網(wǎng)購者，特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲，送免費購物券”活動，網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進. 若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費購物券200元. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網(wǎng)購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次.若擲出奇數(shù)，遙控車向前移動一格（從到）若擲出偶數(shù)遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求網(wǎng)購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.

附：在線性回歸方程中，.

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【題目】如下面左圖，在直角梯形中，，，，，，點在上，且，將沿折起，得到四棱錐（如下面右圖）.

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A.B.C.D.

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