Question

20．已知函數(shù)f（x）=mln（x+1），g（x）=$\frac{x}{x+1}$（x＞-1）．
（Ⅰ）討論函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在（-1，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若y=f（x）與y=g（x）的圖象有且僅有一條公切線，試求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得F（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)m≤0時(shí)，當(dāng)m＞0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域；
（Ⅱ）分別求出f（x），g（x）在切點(diǎn)處的斜率和切線方程，化為斜截式，可得y=f（x）與y=g（x）的圖象有且僅有一條公切線等價(jià)為$\frac{m}{a+1}$=$\frac{1}{（b+1）^{2}}$（1），mln（a+1）-$\frac{am}{a+1}$=$\frac{^{2}}{（b+1）^{2}}$（2），有唯一一對(duì)（a，b）滿足這個(gè)方程組，且m＞0，消去a，得到b的方程，構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，得到最值，即可得到a=b=0，公切線方程為y=x．

解答 解：（Ⅰ）F′（x）=f′（x）-g′（x）
=$\frac{m}{x+1}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{m（x+1）-1}{（x+1）^{2}}$（x＞-1），
當(dāng)m≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)F（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減；…（2分）
當(dāng)m＞0時(shí)，令F′（x）＜0，可得x＜-1+$\frac{1}{m}$，函數(shù)F（x）在（-1，-1+$\frac{1}{m}$）上單調(diào)遞減；
F′（x）＞0，可得＞-1+$\frac{1}{m}$，函數(shù)F（x）在（-1+$\frac{1}{m}$，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)m≤0時(shí)，F(xiàn)（x）的減區(qū)間是（-1，+∞）；
當(dāng)m＞0時(shí)，F(xiàn)（x）的減區(qū)間是（-1，-1+$\frac{1}{m}$），
增區(qū)間是（-1+$\frac{1}{m}$，+∞）…（4分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=mln（x+1）在點(diǎn)（a，mln（a+1））處的切線方程為y-mln（a+1）=$\frac{m}{a+1}$（x-a），
即y=$\frac{m}{a+1}$x+mln（a+1）-$\frac{am}{a+1}$，
函數(shù)g（x）=$\frac{x}{x+1}$在點(diǎn)（b，$\frac{1+b}$）處的切線方程為y-$\frac{1+b}$=$\frac{1}{（b+1）^{2}}$（x-b），
即y=$\frac{1}{（b+1）^{2}}$x+$\frac{^{2}}{（b+1）^{2}}$．
y=f（x）與y=g（x）的圖象有且僅有一條公切線
所以$\frac{m}{a+1}$=$\frac{1}{（b+1）^{2}}$（1），mln（a+1）-$\frac{am}{a+1}$=$\frac{^{2}}{（b+1）^{2}}$（2），
有唯一一對(duì)（a，b）滿足這個(gè)方程組，且m＞0…（6分）
由（1）得：a+1=m（b+1）²代入（2）消去a，整理得：
2mln（b+1）+$\frac{2}{b+1}$+mlnm-m-1=0，關(guān)于b（b＞-1）的方程有唯一解…（8分）
令t（b）=2mln（b+1）+$\frac{2}{b+1}$+mlnm-m-1，
t′（b）=$\frac{2m}{b+1}$-$\frac{2}{（b+1）^{2}}$=$\frac{2[m（b+1）-1]}{（b+1）^{2}}$，
方程組有解時(shí)，m＞0，所以t（b）在（-1，-1+$\frac{1}{m}$）單調(diào)遞減，在（-1+$\frac{1}{m}$，+∞）上單調(diào)遞增．
所以t（b）_min=t（（-1+$\frac{1}{m}$）=m-mlnm-1．
由b→+∞，t（b）→+∞；b→-1，t（b）→+∞，
只需m-mlnm-1=0…（10分）
令u（m）=m-mlnm-1，u′（m）=-lnm在m＞0為單減函數(shù)，
且m=1時(shí)，u′（m）=0，即u（m）_min=u（1）=0，
所以m=1時(shí)，關(guān)于b的方程2mln（b+1）+$\frac{2}{b+1}$+mlnm-m-1=0有唯一解．
此時(shí)a=b=0，公切線方程為y=x…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性、極值和最值，考查分類討論和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．