Question

8．如果直線(xiàn)ax+by=7（a＞0，b＞0）和函數(shù)f（x）=1+log_mx（m＞0，m≠1）的圖象恒過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓（x+b-1）²+（y+a-1）²=25的內(nèi)部或圓上，那么$\frac{a}$的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{3}{4}，\frac{4}{3}}]$
• B． $（{0，\frac{3}{4}}]∪[{\frac{4}{3}，+∞}）$
• C． $[{\frac{4}{3}，+∞}）$
• D． $（{0，\frac{3}{4}}]$

Answer 1

分析 由冪函數(shù)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，把定點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)和圓的方程，求出a的取值范圍，從而求出$\frac{a}$的取值范圍．

解答 解：f（x）=1+log_mx恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)（1，1）；
∴ax+by=7（a＞0，b＞0）過(guò)定點(diǎn)（1，1），
∴a+b=7①；
又定點(diǎn)（1，1）在圓（x+b-1）²+（y+a-1）²=25的內(nèi)部或圓上，
∴（1+b-1）²+（1+a-1）²≤25，
即a²+b²≤25②；
由①②得，3≤a≤4，
∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{7}{a}$-1∈[$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$]，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)與圓的方程以及函數(shù)與不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是一道簡(jiǎn)單的綜合試題．