Question

13．在△ABC中，E為AC中點，D為BC靠近C的三等分點，記$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow b$．
（1）用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BE}$；
（2）求BP：PE，并用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{CP}$．

Answer 1

分析 （1）利用向量加法的三角形法則運算；
（2）設(shè)$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BE}$，用$\overrightarrow{AB}，AC$表示出$\overrightarrow{AP}$，根據(jù)$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AD}$列出方程組即可求出λ和k，從而得出BP：PE，由$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵D為BC靠近C的三等分點，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow$，
∵E為AC中點，∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AE}$=-$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=-$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$．
（2設(shè)$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BE}$=-λ$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}λ$$\overrightarrow$，
則$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$=（1-λ）$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}λ$$\overrightarrow$，
∵A，P，D三點共線，∴$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AD}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{1}{3}k}\\{\frac{1}{2}λ=\frac{2}{3}k}\end{array}\right.$，解得λ=$\frac{4}{5}$，k=$\frac{3}{5}$，
∴BP：PE=4，
$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$=-$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}$=-$\overrightarrow$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{5}\overrightarrow$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{a}$-$\frac{3}{5}\overrightarrow$．

點評 本題考查了平面向量的幾何運算，屬于中檔題．