Question

13．在探究“點(diǎn)P₀（x₀，y₀）到直線l：Ax+By+C=0的距離公式”的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小華同學(xué)進(jìn)行了如下思考，并得出以下距離公式：
（Ⅰ）①當(dāng)A=0時(shí)，點(diǎn)P₀（x₀，y₀）到直線l：By+C=0的距離為$\frac{|{By}_{0}+C|}{\sqrt{{B}^{2}}}$；
②當(dāng)B=0時(shí)，點(diǎn)P₀（x₀，y₀）到直線l：Ax+C=0的距離為$\frac{|{Ax}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}}}$；
③當(dāng)A≠0且B≠0時(shí)，點(diǎn)P₀（x₀，y₀）到直線l：Ax+By+C=0的距離為$\frac{|{Ax}_{0}+{By}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}$．
（Ⅱ）試證明當(dāng)A≠0且B≠0時(shí)，點(diǎn)P₀（x₀，y₀）到直線l：Ax+By+C=0的距離公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別寫出平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離公式即可；
（Ⅱ）根據(jù)A≠0，且B≠0時(shí)，點(diǎn)到直線l的距離公式是什么，分別求出即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)B=0時(shí)，d=$\frac{|{Ax}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}}}$；
當(dāng)A=0時(shí)，d=$\frac{|{By}_{0}+C|}{\sqrt{{B}^{2}}}$；
當(dāng)A≠0，且B≠0時(shí)，d=$\frac{|{Ax}_{0}+{By}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}$，
故答案為：$\frac{|{Ax}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}}}$；$\frac{|{By}_{0}+C|}{\sqrt{{B}^{2}}}$；$\frac{|{Ax}_{0}+{By}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}$；
（Ⅱ）當(dāng)A≠0，且B≠0時(shí)，直線l與x軸、y軸都相交，
過點(diǎn)P作x軸的平行線，交l與點(diǎn)R（x₁，y₀），作y軸的平行線交l于點(diǎn)S（x₀，y₂），
如圖所示：

把點(diǎn)R的坐標(biāo)代入l的方程，求出x₁=-$\frac{{By}_{0}+c}{A}$，
把點(diǎn)S的坐標(biāo)代入l的方程，求出y₂=-$\frac{{Ax}_{0}+C}{B}$，
所以|PR|=|x₀-x₁|=|$\frac{{Ax}_{0}+{By}_{0}+C}{A}$|，
|PS|=|y₀-y₂|=|$\frac{{Ax}_{0}+{By}_{0}+C}{B}$|，
|RS|=$\sqrt{{|PR|}^{2}{+|PS|}^{2}}$=$\frac{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}{|A•B|}$•|Ax₀+By₀+C|；
由三角形的面積公式，得d•|RS|=|PR|•|PS|，
所以d=|PQ|=$\frac{|{Ax}_{0}+{By}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}$．

點(diǎn)評 本題考查了點(diǎn)到直線距離公式的證明與應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題，是綜合性題目．