Question

2．已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，且AB=BC=1，AC=CP=PA=$\sqrt{2}$，三棱錐P-ABC的體積為$\frac{1}{6}$，則球O的表面積為11π或3π．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，設(shè)出球的半徑，由三棱錐P-ABC的體積為$\frac{1}{6}$列式求出半徑，則球O的表面積可求．

解答 解：如圖，

由AB=BC=1，AC=CP=PA=$\sqrt{2}$，可知
面ABC為以∠B為直角的直角三角形，△PAC是邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的等邊三角形，
取AC中點(diǎn)F，連接OF，則OF⊥平面ABC，
取△PAC的中心E，連接OE，則OE⊥平面PAC，
設(shè)球O的半徑為R，則OE=$\sqrt{{R}^{2}-\frac{2}{3}}$，OF=$\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{2}}$，
∴三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\sqrt{{R}^{2}-\frac{2}{3}}+\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{2}}）=\frac{1}{6}$，
解得：${R}^{2}=\frac{11}{4}$或${R}^{2}=\frac{3}{4}$．
∴球O的表面積為11π或3π．
故答案為：11π或3π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積與體積，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．