Question

7．已知（2x²-$\frac{1}{x}$）ⁿ（n∈N^*）展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64．
（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求（2-x³）（2x²-$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n=6，從而求得展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
（2）把（2x²-$\frac{1}{x}$）⁶ 按照二項(xiàng)式定理展開，可得（2-x³）（2x²-$\frac{1}{x}$）⁶展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：（1）由題意可得2ⁿ=64，∴n=6，
故展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T₄=${C}_{6}^{3}$•（2x²）³•${（-\frac{1}{x}）}^{3}$=-160x³．
（2）∵（2x²-$\frac{1}{x}$）⁶ 的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•2^6-r•x^12-3r，
（2-x³）（2x²-$\frac{1}{x}$）ⁿ =（2-x³）（2x²-$\frac{1}{x}$）⁶
=（2-x³）（2⁶•x¹²-6•2⁵•x⁹+15•2⁴•x⁶-20•2³•x³+15•2²•1-6•2•x^-3+x^-6），
故此開式中的常數(shù)項(xiàng)為2•15•2²+6•2=132．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．