Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2），a₁=a₂=1，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2）的相應特征方程為λ²-3λ+1=0，求出特征根，由初始值a₁=a₂=1，得方程組，求出參數(shù)，由此能求出結果．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2），
a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2）的相應特征方程為λ²-3λ+1=0，
解得特征根為${λ}_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，λ₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴${a}_{n}={c}_{1}•\frac{3+\sqrt{5}}{2}+{c}_{2}•\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
由初始值a₁=a₂=1，得方程組：
$\left\{\begin{array}{l}{1={c}_{1}（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）^{1}+{c}_{2}（\frac{3-\sqrt{5}}{2}）^{1}}\\{1={c}_{1}（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）^{2}+{c}_{2}（\frac{3-\sqrt{5}}{2}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}=\frac{5-2\sqrt{5}}{5}}\\{{c}_{2}=\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{n}=\frac{5-2\sqrt{5}}{5}$（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ+$\frac{5+2\sqrt{5}}{5}$（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意特征方程、特征根的合理運用．