Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓C和拋物線y²=x交于M，N兩點(diǎn)，且直線MN恰好通過橢圓C的右焦點(diǎn)．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）A為橢圓的右頂點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線和橢圓C交于B，D兩點(diǎn)，設(shè)直線AB與AD的斜率分別為k₁，k₂．問k₁•k₂是否為定值？若為定值，請求出；否則，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，設(shè)a=2λ，c=$\sqrt{2}λ$，b=$\sqrt{2}λ$，其中λ＞0，把M（c，$±\sqrt{c}$），代入橢圓中得$λ=\sqrt{2}$，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）設(shè)B（x₀，y₀），（y₀＞0），則D（-x₀，-y₀），且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，由此能推導(dǎo)出k₁•k₂=-$\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$為定值．

解答 解：（I）由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，設(shè)a=2λ，c=$\sqrt{2}λ$，b=$\sqrt{2}λ$，其中λ＞0，
由已知M（c，$±\sqrt{c}$），代入橢圓中得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{c}{^{2}}$=1，
即$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}λ}{2{λ}^{2}}$=1，解得$λ=\sqrt{2}$，
從而a=2$\sqrt{2}$，b=2，c=2，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．…（5分）
（II）k₁，k₂為定值，…（6分）
下面給出證明．
證明：設(shè)B（x₀，y₀），（y₀＞0），則D（-x₀，-y₀），且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，…（7分）
而k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}）}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，…（9分）
由（I）知a²=8，b²=4，∴k₁•k₂=-$\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$為定值．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查兩直線的斜率乘積是否為定值的判斷與求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想思想，是中檔題．