Question

【題目】已知，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

（I）證明：；

（Ⅱ）證明：．

Answer 1

【答案】（I）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）證明見(jiàn)解析

【解析】

（I）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性以及最值，根據(jù)直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求得參數(shù)的范圍；

（Ⅱ）先證明，再證明成立即可.

證明：（I）由，則．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．

因?yàn)?/span>有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故，即.

若，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，

在上至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾，故.

（Ⅱ）（1）一方面，先證明成立：

設(shè)，由（I）可知．

構(gòu)造函數(shù)，

所以．

所以當(dāng)時(shí)，，遞增，

所以，即．

因?yàn)?/span>，所以，

即．

又因?yàn)?/span>，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，即．

（2）另一方面，要證明成立，

只需證明成立，

由知，

故只需證明，即成立

等價(jià)于，

因?yàn)?/span>，所以只需證明，

即成立.

設(shè)函數(shù)，則，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

于是，故成立

綜上所述：．