Question

7．用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 先驗(yàn)證n=1結(jié)論成立，假設(shè)n=k結(jié)論成立，根據(jù)條件計(jì)算（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2）的結(jié)果即可得出n=k+1結(jié)論成立．

解答 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1+1=2，右邊=2•1=2．
∴左邊=右邊，故當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立；
（2）假設(shè)n=k（k≥1）結(jié)論成立，即（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）=2^k•1•3…（2k-1），
∴（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2）=$\frac{{2}^{k}•1•3…（2k-1）}{k+1}$•（2k+1）•（2k+2）=2^k+1•1•3…（2k-1）•（2k+1），
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，
故對(duì)任意n∈N^*，結(jié)論都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．