Question

2．過原點(diǎn)的直線l與拋物線y=x²-2ax（a＞0）所圍成的圖形的面積為y=$\frac{9}{2}$a³，則直線l的方程為（　�。�

• A． y=ax
• B． y=ax或y=-6ax
• C． y=-ax
• D． y=ax或y=-5ax

Answer 1

分析 設(shè)l的方程為：y=kx，將直線與拋物線方程聯(lián)解，得到兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0與2a+k．由此分2a+k≥0與2a+k＜0兩種情況討論，根據(jù)定積分計(jì)算公式與微積分的幾何意義建立關(guān)于a、k的方程，解出k值即可得到所求直線l的方程．

解答 解：設(shè)l的方程為：y=kx，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-2ax}\end{array}\right.$，解得x=0或x=2a+k，
（1）若2a+k≥0，則所圍成圖形的面積S=${∫}_{0}^{2a+k}$（kx-x²+2ax）dx=（$\frac{1}{2}$kx²-$\frac{1}{3}$x³+ax²）${丨}_{0}^{2a+k}$=$\frac{（k+2a）^{3}}{6}$=$\frac{9}{2}$a³，解得：k=a．
∴所求直線l方程為：y=ax．
（2）若2a+k＜0，則所圍成圖形的面積S=${∫}_{2a+k}^{0}$（kx-x²+2ax）dx=（$\frac{1}{2}$kx²-$\frac{1}{3}$x³+ax²）${丨}_{2a+k}^{0}$=-$\frac{（k+2a）^{3}}{6}$=$\frac{9}{2}$a³，解之得k=-5a
∴所求直線l方程為：y=-5ax．
綜上所述，直線l的方程為y=ax或y=-5ax，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直線與拋物線圍成的封閉圖形的面積，求直線的方程．著重考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系、微積分計(jì)算公式和微積分的幾何意義等知識(shí)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．