Question

18．設函數f（x）=ln（x-1）+ax²+x+1，g（x）=（x-1）e^x+ax²．  
（1）當a=1時，求函數f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若函數g（x）有兩個零點，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（2），f′（2）的值，求出切線方程即可；
（2）求出函數g（x）的導數，通過討論a的范圍，判斷函數g（x）的單調性，結合函數零點的個數確定a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=ln（x-1）+x²+x+1的導數為
f′（x）=$\frac{1}{x-1}$+2x+1，
可得f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為1+4+1=6，
切點為（2，7），
即有f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-7=6（x-2），
即為6x-y-5=0；
（2）函數g（x）的定義域為R，由已知得g'（x）=x（e^x+2a）．
①當a=0時，函數g（x）=（x-1）e^x只有一個零點；
②當a＞0，因為e^x+2a＞0，
當x∈（-∞，0）時，g'（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，g'（x）＞0．
所以函數g（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增．
又g（0）=-1，g（1）=a，
因為x＜0，所以x-1＜0，e^x＜1，所以e^x（x-1）＞x-1，所以g（x）＞ax²+x-1
取x0=$\frac{-1-\sqrt{1+4a}}{2a}$，顯然x₀＜0且g（x₀）＞0，
所以g（0）g（1）＜0，g（x₀）g（0）＜0．
由零點存在性定理及函數的單調性知，函數有兩個零點．
③當a＜0時，由g'（x）=x（e^x+2a）=0，得x=0，或x=ln（-2a）．
ⅰ） 當a＜-$\frac{1}{2}$，則ln（-2a）＞0．
當x變化時，g'（x），g（x）變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，ln（-2a））	ln（-2a）	（ln（-2a），+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	-1	↘		↗

注意到g（0）=-1，所以函數g（x）至多有一個零點，不符合題意．
ⅱ） 當a=-$\frac{1}{2}$，則ln（-2a）=0，g（x）在（-∞，+∞）單調遞增，函數g（x）至多有一個零點，不符合題意．
ⅱⅰ） 若a＞-$\frac{1}{2}$，則ln（-2a）≤0．
當x變化時，g'（x），g（x）變化情況如下表：

x	（-∞，ln（-2a））	ln（-2a）	（ln（-2a），0）	0	（0，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗		↘	-1	↗

注意到當x＜0，a＜0時，g（x）=（x-1）e^x+ax²＜0，g（0）=-1，所以函數g（x）至多有一個零點，不符合題意．
綜上，a的取值范圍是（0，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．