Question

設(shè)f（x）=2^x+

a

2x

-1（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a＜0，試判斷f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）若a=0，且y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求g（x）的解析式；
（3）試確定關(guān)于x的方程f（x）=0的實(shí)數(shù)集上有解的條件．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷f（x）是R上是增函數(shù)；
（2）根據(jù)y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求出g（x）的解析式；
（3）方程f（x）=0在實(shí)數(shù)集上有解，即函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，討論a的值，求出f（x）=0在實(shí)數(shù)集上有解的條件．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+

a

2x

-1（a為常數(shù)），
當(dāng)a＜0時(shí)，y=2^x在R上是增函數(shù)，
∴y=

1

2x

在R上是減函數(shù)，
∴y=

a

2x

在R上是增函數(shù)，
∴f（x）=2^x+

a

2x

在R上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2^x-1，
∵y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴g（x）=2^2-x-1；
（3）∵方程f（x）=0在實(shí)數(shù)集上有解，
且f（x）=2^x+

a

2x

-1，
∴①當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)，且f（0）=1+a-1=a＜0，滿足題意；
②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2^x-1，且f（0）=1-1=0，滿足題意；
③當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=2^x+

a

2x

-1≥2

a

-1，令2

a

-1≤0，解得a≤

1

4

；
綜上，a≤

1

4

；
∴方程f（x）=0在實(shí)數(shù)集上有解的條件是{a|a≤

1

4

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程實(shí)數(shù)解的問(wèn)題，考查了分類討論思想，是中檔題．