Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q=2，a₄=8，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，設(shè)a=a₂^0.3，b=0.3${\;}^{{a}_{3}}$，c=log_an（S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$），則a，b，c大小關(guān)系是（　�。�

• A． a＜b＜c
• B． b＜a＜c
• C． c＜b＜a
• D． b＜c＜a

Answer 1

分析 由等比數(shù)列的性質(zhì)得a₁=1，a_n=1×2^n-1=2^n-1，a₂=2，a₃=4，${S}_{n}=\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，由此利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)能判斷a，b，c的大小關(guān)系．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}的公比q=2，a₄=8，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，
∴${a}_{4}={a}_{1}{q}^{3}$，∴8=a₁•8，
解得a₁=1，∴a_n=1×2^n-1=2^n-1，
∴a₂=2，a₃=4，${S}_{n}=\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
設(shè)a=a₂^0.3，b=0.3${\;}^{{a}_{3}}$，c=log_an（S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$），
∴a=2^0.3∈（1，$\sqrt{2}$），a=2^0.3＜2^0.5=$\sqrt{2}$，b=0.3⁴∈（0，1），
∵n∈N^*，∴1≤2^n-1≤2ⁿ-1，
∴$\sqrt{2}$＜c=$lo{g}_{{2}^{n-1}}（{2}^{n}-1+\frac{1}{{2}^{n}-1}）$＜2，
∴a，b，c大小關(guān)系是b＜a＜c．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的前5項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．