Question

10．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2，$PA=\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）若E是PA的中點，求二面角A-EC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （I）由BD⊥AC，BD⊥PO即可得出BD⊥平面PAC，故而BD⊥PC；
（II）證明OP⊥平面ABCD，建立空間坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量的夾角，從而得出二面角的大�。�

解答 （I）證明：設(shè)AC，BD交點為O，連接PO，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，O是AC、BD的中點，
∵PB=PD，∴PO⊥BD，
又PO?平面POC，AC?平面POC，PO∩AC=O，
∴BD⊥平面POC，∵PC?平面POC，
∴BD⊥PC．
（II）解：∠BAD=60°，AB=AD=2，
∴△ABD是等邊三角形，
又AB=PB=PD，
∴△PBD是等邊三角形，
∴OA=OP=$\sqrt{3}$，
∴OA²+OP²=PA²，∴OA⊥OP，
又OP⊥OB，OA∩OB=O，
∴OP⊥平面ABCD．
以O(shè)為原點，以O(shè)B，OC，OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
∵E是PA的中點，∴E（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{CE}$=（0，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面BCE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，3），
又BD⊥平面POC，
∴$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）是平面ACE的一個法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{1•\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$，
∵二面角A-EC-B為銳二面角，
∴二面角A-EC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，空間向量與二面角的計算，屬于中檔題．