Question

1．已知復(fù)數(shù)z=1+mi（i是虛數(shù)單位，m∈R），且$\overline z•（3+i）$為純虛數(shù)（$\overline z$是z的共軛復(fù)數(shù)）．
（Ⅰ）設(shè)復(fù)數(shù)${z_1}=\frac{m+2i}{1-i}$，求|z₁|；
（Ⅱ）設(shè)復(fù)數(shù)${z_2}=\frac{{a-{i^{2017}}}}{z}$，且復(fù)數(shù)z₂所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由已知列式求出m值．
（Ⅰ）把m值代入${z_1}=\frac{m+2i}{1-i}$，直接利用復(fù)數(shù)模的計算公式求解；
（Ⅱ）把z代入${z_2}=\frac{{a-{i^{2017}}}}{z}$，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部大于0且虛部小于0列不等式組求解．

解答 解：∵z=1+mi，∴$\overline z=1-mi$．
∴$\overline z•（3+i）=（1-mi）（3+i）=（3+m）+（1-3m）i$．
又∵$\overline z•（3+i）$為純虛數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}3+m=0\\ 1-3m≠0.\end{array}\right.$，解得m=-3．
∴z=1-3i．
（Ⅰ）${z_1}=\frac{-3+2i}{1-i}=-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i$，
∴$|{z_1}|=\sqrt{{{（-\frac{5}{2}）}^2}+{{（-\frac{1}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{26}}}{2}$；
（Ⅱ）∵z=1-3i，
∴${z_2}=\frac{a-i}{1-3i}=\frac{（a-i）（1+3i）}{（1-3i）（1+3i）}=\frac{（a+3）+（3a-1）i}{10}$．
又∵復(fù)數(shù)z₂所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{a+3}{10}＞0\\ \frac{3a-1}{10}＜0.\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a＞-3\\ a＜\frac{1}{3}.\end{array}\right.$．
∴$-3＜a＜\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，是中檔題．