Question

11．設(shè)過(guò)曲線(xiàn)f（x）=-e^x-x+3a上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)為l₁，總存在過(guò)曲線(xiàn)g（x）=（x-1）a+2cosx上一點(diǎn)處的切線(xiàn)l₂，使得l₁⊥l₂，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [-1，1]
• B． [-2，2]
• C． [-2，1]
• D． [-1，2]

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）=-e^x-x+3a的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步求得$\frac{1}{1+{e}^{x}}$∈（0，1），再求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)的范圍，然后把過(guò)曲線(xiàn)f（x）=-e^x-x+3a上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)為l₁，總存在過(guò)曲線(xiàn)g（x）=a（x-1）+2cosx上一點(diǎn)處的切線(xiàn)l₂，使得l₁⊥l₂轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解．

解答 解：由f（x）=-e^x-x，得f′（x）=-e^x-1，
∵e^x+1＞1，∴$\frac{1}{1+{e}^{x}}$∈（0，1），
由g（x）=（x-1）a+2cosx，得g′（x）=a-2sinx，
又-2sinx∈[-2，2]，
∴a-2sinx∈[-2+a，2+a]，
要使過(guò)曲線(xiàn)f（x）=-e^x-x+3a上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)為l₁，
總存在過(guò)曲線(xiàn)g（x）=a（x-1）+2cosx上一點(diǎn)處的切線(xiàn)l₂，使得l₁⊥l₂，
則$\left\{\begin{array}{l}{a-2≤0}\\{a+2≥1}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤2．
即a的取值范圍為[-1，2]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線(xiàn)上的某點(diǎn)的切線(xiàn)方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解，是中檔題．