Question

6．已知對k∈R，直線y-kx-1=0與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍（　　）

• A． （1，4]
• B． [1，4）
• C． [1，4）∪（4，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 方法一：由直線恒過點（0，1），當點（0，1）在橢圓內(nèi)部時，直線與橢圓恒有公共點，求得m的取值范圍，且m≠4，即可求得m的取值范圍；
方法二：將直線方程代入橢圓方程，由△≥0，且m≠4，即可求得m的取值范圍．

解答 解：方法一：直線y-kx-1=0恒過點（0，1），僅當點（0，1）在橢圓上或橢圓內(nèi)時，此直線才恒與橢圓有公共點，
而點（0，1）在y軸上，則$\frac{1}{m}$≤1且m＞0，得m≥1，
而根據(jù)橢圓的方程中有m≠4，
故m的范圍是[1，4）∪（4，+∞），
故選C．
方法二：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{m}=1}\end{array}\right.$化為（m+4k²）x²+8kx+4-4m=0，
∵直線y-kx-1=0與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1恒有公共點，
∴△=64k²-4（m+4k²）（4-4m）≥0，
化為m²+（4k²-1）m≥0，
由于m≠0，上式化為：m≥1-4k²，
由于上式對k∈R恒成立，∴m≥1．
由橢圓的定義可知：m≠4．
綜上可得m的取值范圍是：[1，4）∪（4，+∞）．
故選C．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，直線與橢圓的交點問題，考查判別式法應用，考查計算能力，屬于中檔題．