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3.已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的三條對(duì)邊,且csinC-asinA=(b-a)sinB.
(Ⅰ)求角C的大��;
(Ⅱ)求cosA+cosB的最大值.

分析 (Ⅰ)由csinC-asinA=(b-a)sinB.由正弦定理得c2-a2=b2-ab,即a2+b2-c2=ab.再利用余弦定理即可得出.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=\frac{π}{3},可得B=\frac{2π}{3}-A且A∈(0,\frac{2π}{3}),可得cosA+cosB=cosA+cos(\frac{2π}{3}-A)=sin(A+\frac{π}{6}).利用A∈(0,\frac{2π}{3}),\frac{π}{6}+A∈(\frac{π}{6},\frac{5π}{6}),即可得出.

解答 解:(Ⅰ)∵csinC-asinA=(b-a)sinB.
由正弦定理得c2-a2=b2-ab,即a2+b2-c2=ab.
∴cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}
又∵C∈(0,π),∴C=\frac{π}{3}
(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=\frac{π}{3},∴B=\frac{2π}{3}-A且A∈(0,\frac{2π}{3}),
故cosA+cosB=cosA+cos(\frac{2π}{3}-A)
=cosA-\frac{1}{2}cosA+\frac{\sqrt{3}}{2}sinA
=\frac{1}{2}cosA+\frac{\sqrt{3}}{2}sinA
=sin(A+\frac{π}{6})
∵A∈(0,\frac{2π}{3}),∴\frac{π}{6}+A∈(\frac{π}{6},\frac{5π}{6}),∴當(dāng)A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2},即A=\frac{π}{3}時(shí),
cosA+sinA取得最大值,為1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理余弦定理、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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