分析 (Ⅰ)由csinC-asinA=(b-a)sinB.由正弦定理得c2-a2=b2-ab,即a2+b2-c2=ab.再利用余弦定理即可得出.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=\frac{π}{3},可得B=\frac{2π}{3}-A且A∈(0,\frac{2π}{3}),可得cosA+cosB=cosA+cos(\frac{2π}{3}-A)=sin(A+\frac{π}{6}).利用A∈(0,\frac{2π}{3}),\frac{π}{6}+A∈(\frac{π}{6},\frac{5π}{6}),即可得出.
解答 解:(Ⅰ)∵csinC-asinA=(b-a)sinB.
由正弦定理得c2-a2=b2-ab,即a2+b2-c2=ab.
∴cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}.
又∵C∈(0,π),∴C=\frac{π}{3}.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=\frac{π}{3},∴B=\frac{2π}{3}-A且A∈(0,\frac{2π}{3}),
故cosA+cosB=cosA+cos(\frac{2π}{3}-A)
=cosA-\frac{1}{2}cosA+\frac{\sqrt{3}}{2}sinA
=\frac{1}{2}cosA+\frac{\sqrt{3}}{2}sinA
=sin(A+\frac{π}{6}).
∵A∈(0,\frac{2π}{3}),∴\frac{π}{6}+A∈(\frac{π}{6},\frac{5π}{6}),∴當(dāng)A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2},即A=\frac{π}{3}時(shí),
cosA+sinA取得最大值,為1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理余弦定理、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | (1,+∞) | B. | [1,+∞) | C. | (0,+∞) | D. | [0,+∞) |
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A. | ({-∞,-\frac{1}{3}}]∪[{2,+∞}] | B. | ({-∞,-\frac{1}{3}}]∪[{\frac{1}{4},+∞}) | C. | ({-∞,\frac{1}{4}}]∪[{\frac{9}{4},+∞}) | D. | ({-∞,-\frac{1}{3}}]∪[{\frac{9}{4},+∞}) |
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