Question

2．已知函數(shù)f（x）=log₃$\frac{x}{4-x}$．
（1）求證f（x）在區(qū)間（0，4）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）求f（x）在[2，3）上的值域；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=log₂t在x∈[2，3）上有解，求實(shí)數(shù)t的范圍．

Answer 1

分析 （1）先判斷內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可得f（x）在區(qū)間（0，4）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）由（1）得f（x）在[2，3）上為增函數(shù)，求出f（2），f（3）的值，可得f（x）在[2，3）上的值域；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=log₂t在x∈[2，3）上有解，則log₂t∈[0，1），進(jìn)而可得實(shí)數(shù)t的范圍．

解答 證明：（1）令t=$\frac{x}{4-x}$，則t′=$\frac{4}{（4-{x）}^{2}}$＞0在區(qū)間（0，4）上恒成立，
故t=$\frac{x}{4-x}$在區(qū)間（0，4）上為增函數(shù)，
故f（x）=log₃$\frac{x}{4-x}$在區(qū)間（0，4）上為增函數(shù)；
解：（2）由（1）得f（x）在[2，3）上為增函數(shù)，
又由f（2）=log₃1=0，f（3）=log₃3=1，
故f（x）在[2，3）上的值域?yàn)閇0，1）；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=log₂t在x∈[2，3）上有解，
則log₂t∈[0，1），
解得：t∈[1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，對(duì)數(shù)方程的解法，難度中檔．