Question

4．已知函數(shù)y=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的部分圖象如圖所示，當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí)，y取得最大值1，當(dāng)x=$\frac{7π}{12}$時(shí)，取得最小值-1
（1）求ω的值
（2）若$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a＜1，求方程f（x）=a在區(qū)間[0，2π]上的所有實(shí)數(shù)根的和．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值．
（2）根據(jù)題意，在區(qū)間[0，2π]上，正好包含2個(gè)周期，方程sin（2x+$\frac{π}{3}$）=a有4個(gè)根，且x₁+x₂=2×$\frac{π}{12}$，x₃+x₄=2•（π+$\frac{π}{12}$）=2π+$\frac{π}{6}$，由此求得 x₁+x₂+x₃+x₄．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)y=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的部分圖象，
當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí)，y取得最大值1，當(dāng)x=$\frac{7π}{12}$時(shí)，取得最小值-1，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$，∴ω=2．
（2）若$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a＜1，方程即f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）=a，
在區(qū)間[0，2π]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{13π}{3}$]．
函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的周期為π，在區(qū)間[0，2π]上，
正好包含2個(gè)周期，方程sin（2x+$\frac{π}{3}$）=a有4個(gè)根，
且x₁+x₂=2×$\frac{π}{12}$，x₃+x₄=2•（π+$\frac{π}{12}$）=2π+$\frac{π}{6}$，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=$\frac{7π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求三角函數(shù)的解析式與三角函數(shù)的有關(guān)基本性質(zhì)，如函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，單調(diào)性，掌握基本函數(shù)的基本性質(zhì)，是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．