Question

【題目】定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在，滿(mǎn)足，則稱(chēng)函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”，是它的一個(gè)均值點(diǎn)．例如y=| x |是上的“平均值函數(shù)”，0就是它的均值點(diǎn)．給出以下命題：

①函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”．

②若是上的“平均值函數(shù)”，則它的均值點(diǎn)x0≥．

③若函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．

④若是區(qū)間[a.，b] （b>a.≥1）上的“平均值函數(shù)”，是它的一個(gè)均值點(diǎn)，則．

其中的真命題有_________．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

直接利用定義判斷①的正誤；利用反例判斷②的正誤；利用定義推出m的范圍判斷③的正誤；利用分析法直接證明，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可證明④的正誤.

解：①由，可得

由，可得滿(mǎn)足“平均值函數(shù)”，故①正確；

②舉反例，令，，可得，又，故②錯(cuò)誤；

③ 由函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”，所以關(guān)于的方程：

在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)根，

由，可得，可得，或，

又，故必為均值點(diǎn)，即，可得，故③ 正確；

④由題意得：，要證明，

即證明：，

令，原式子等價(jià)于：，

令，可得，

故在區(qū)間是減函數(shù)，故，故④正確；

故答案為：①③④.