Question

2．已知拋物線C：y²=8x的焦點為F，P為C的準線上一點，Q（在第一象限）是直線PF與C的一個交點，若$\overrightarrow{PQ}=\sqrt{2}\overrightarrow{QF}$，則QF的長為（　　）

• A． $6-4\sqrt{2}$
• B． $8-4\sqrt{2}$
• C． $8+4\sqrt{2}$
• D． $8±4\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用拋物線的定義，結(jié)合$\overrightarrow{PQ}=\sqrt{2}\overrightarrow{QF}$，Q（在第一象限）是直線PF與C的一個交點，求出直線的斜率，即可求出直線PF的方程．與y²=8x聯(lián)立可得x，利用|QF|=d可求．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點F（2，0），設Q到準線l的距離為d，則|QF|=d
∵$\overrightarrow{PQ}=\sqrt{2}\overrightarrow{QF}$，
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{2}$d，
∵Q（在第一象限）是直線PF與C的一個交點，
∴直線的斜率為1，
∴直線的方程為x-y-2=0．
與y²=8x聯(lián)立可得x=6+4$\sqrt{2}$（另一根舍去），
∴|QF|=d=8+4$\sqrt{2}$，
故選：C．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．