Question

【題目】給出兩塊相同的正三角形鐵皮（如圖1，圖2），

（1）要求用其中一塊剪拼成一個(gè)三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，

①請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡要說明；

②試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小

（2）設(shè)正三角形鐵皮的邊長為，將正三角形鐵皮的三個(gè)角切去三個(gè)全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起（如圖3），做成一個(gè)無蓋的正三角形底鐵皮箱，當(dāng)箱底邊長為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

【答案】（1）①答案見解析；②；（2）當(dāng)箱子底邊長為時(shí)，箱子容積最大，最大值為．

【解析】

①可以利用正三角形的圖形特征，進(jìn)行分割

②直接求解比較大小即可

(2) 設(shè)箱底邊長為，列出，利用求導(dǎo)的方法求出最值點(diǎn)，據(jù)此即可求解

解：（1）①如圖1，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線折起，可拼得一個(gè)正三棱錐．

如圖2，正三角形三個(gè)角上剪出三個(gè)相同的四邊形，

其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，

有一組對(duì)角為直角，余下部分按虛線折起，

可成一個(gè)缺上底的正三棱柱，

而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正三棱錐的上底．

②依上面剪拼方法，有．

推理如下：

設(shè)給出正三角形紙片的邊長為2，那么，

正三棱錐與正三棱柱的底面都是邊長為1的正三角形，

其面積為．現(xiàn)在計(jì)算它們的高：

，．

所以．

（2）設(shè)箱底邊長為，則箱高為，

箱子的容積為﹒

由解得（舍），，

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在處取得極大值，

這個(gè)極大值就是函數(shù)的最大值：

．

答：當(dāng)箱子底邊長為時(shí)，箱子容積最大，最大值為．