Question

12．已知函數(shù)f（x）=（2a-1）x-$\frac{1}{2}$cos2x-a（sinx+cosx）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{3}$]
• B． [$\frac{1}{3}$，1]
• C． [0，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{{（sinx-cosx）}^{2}}{2+sinx-cosx}$在[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，令g（x）=$\frac{{（sinx-cosx）}^{2}}{2+sinx-cosx}$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：f（x）=（2a-1）x-$\frac{1}{2}$cos2x-a（sinx+cosx），
f′（x）=2a-1+sin2x-a（cosx-sinx），
若f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]遞增，
則f′（x）≥0在[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
即a≥$\frac{{（sinx-cosx）}^{2}}{2+sinx-cosx}$在[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
令g（x）=$\frac{{（sinx-cosx）}^{2}}{2+sinx-cosx}$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
則g′（x）=$\frac{（sinx+cosx）（sinx-cosx）（4+sinx）}{{（2+sinc-cosx）}^{2}}$，
令g′（x）＞0，即sinx＞cosx，解得：x＞$\frac{π}{4}$，
令g′（x）＜0，即sinx＜cosx，解得：x＜$\frac{π}{4}$，
故g（x）在[0，$\frac{π}{4}$）遞減，在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]遞增，
故g（x）_max=g（0）或g（$\frac{π}{2}$），
而g（0）=1，g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{3}$，
故a≥1，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．