Question

1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，$\frac{asinA+bsinB-csinC}{asinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，c=2$\sqrt{3}$，則a+b的最大值為$4\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 $\frac{asinA+bsinB-csinC}{asinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，利用正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=2cosC，可得tanC=$\sqrt{3}$．C∈（0，π），解得C．再利用正弦定理可得：a=4sinA，b=4sinB．利用和差公式、三角函數(shù)的值域即可得出．

解答 解：∵$\frac{asinA+bsinB-csinC}{asinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=2cosC，可得tanC=$\sqrt{3}$．
C∈（0，π），解得C=$\frac{π}{3}$．
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=4．
∴a=4sinA，b=4sinB．
則a+b=4sinA+4sin$（\frac{2π}{3}-A）$=$4\sqrt{3}$$sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴（A+$\frac{π}{6}$）∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，∴sin$（A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$．
∴a+b≤4$\sqrt{3}$，當(dāng)A=$\frac{π}{3}$時(shí)取等號(hào)．
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．