Question

10．已知函數(shù)f（x）=-x²+8x，g（x）=6ln x+m．
（1）若函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=6x相切，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為（s，t），求得切線的斜率，由已知切線的方程可得s，t的方程，解方程即可得到所求值；
（2）設(shè)h（x）=g（x）-f（x），則h（x）=x²-8x+6ln x+m（x＞0）．函數(shù)f（x）的圖象與g（x）的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)h（x）的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)．求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和極值，由h（x）的極大值大于0，h（x）的極小值小于0，解不等式即可得到m的取值范圍．

解答 解：（1）g（x）=6ln x+m的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{6}{x}$，
設(shè)切點(diǎn)為（s，t），可得切線的斜率為$\frac{6}{s}$，
函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=6x相切，
可得$\frac{6}{s}$=6，t=6s=6lns+m，
解得s=1，m=6；
（2）設(shè)h（x）=g（x）-f（x），則h（x）=x²-8x+6ln x+m（x＞0）．
函數(shù)f（x）的圖象與g（x）的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
等價(jià)于函數(shù)h（x）的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
h′（x）=2x-8+$\frac{6}{x}$=$\frac{2（x-1）（x-3）}{x}$，
由h′（x）=0得x=1或x=3．
當(dāng)x變化時(shí)，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	遞增	m-7	遞減	m+6ln 3-15	遞增

因此，h（x）的極大值為h（1）=m-7，
極小值為h（3）=m+6ln 3-15．
又當(dāng)x→0時(shí)，h（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，
因此，h（x）的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}h（x）極大=m-7＞0\\ h（x）極小=m+6ln3-15＜0\end{array}$解得7＜m＜15-6ln 3．
故若數(shù)f（x）的圖象與g（x）的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
則m的取值范圍為（7，15-6ln 3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．