Question

19．近年來，空氣質(zhì)量成為人們?cè)絹碓疥P(guān)注的話題，空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡(jiǎn)稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴(yán)重污染．環(huán)保部門記錄了2017年某月哈爾濱市10天的AQI的莖葉圖如下：
（1）利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良（AQI≤100）的天數(shù)；（按這個(gè)月總共30天計(jì)算）
（2）現(xiàn)工作人員從這10天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的日子里隨機(jī)抽取2天進(jìn)行某項(xiàng)研究，求抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的概率；
（3）將頻率視為概率，從本月中隨機(jī)抽取3天，記空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，由此能估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)．
（2）利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的概率．
（3）由（1）估計(jì)某天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為$\frac{3}{5}$，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），由此能求出ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，
故該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的頻率為$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，從而估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為30×$\frac{3}{5}$=18
（2）現(xiàn)工作人員從這10天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的日子里隨機(jī)抽取2天進(jìn)行某項(xiàng)研究，
基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{2}$=15，
抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的對(duì)立事件是抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量都不是優(yōu)，
∴抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的概率：
p=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
（3）由（1）估計(jì)某天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為$\frac{3}{5}$，
∴ξ的所有可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），
$P（ξ=0）={（\frac{2}{5}）^3}=\frac{8}{125}$，
P（ξ=1）=C₃¹$\frac{3}{5}{（\frac{2}{5}）^2}=\frac{36}{125}$，
$P（ξ=2）=C_3^2{（\frac{3}{5}）^2}\frac{2}{5}=\frac{54}{125}$，
$P（ξ=3）={（\frac{3}{5}）^3}=\frac{27}{125}$，
故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∵$ξ～B（3，\frac{3}{5}）$，Eξ=3×$\frac{3}{5}$=1.8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率、頻率、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．