Question

12．已知 $\frac{π}{2}＜α＜β＜\frac{3π}{4}，cos（{α-β}）=\frac{12}{13}，sin（{α+β}）=-\frac{3}{5}$，則sin2α=（　�。�

• A． $-\frac{16}{65}$
• B． $\frac{56}{65}$
• C． $\frac{16}{65}$
• D． $-\frac{56}{65}$

Answer 1

分析 比較題設(shè)條件與結(jié)論，可知應(yīng)利用角的關(guān)系2α=（α+β）+（α-β）求解．

解答 解：∵sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β），
又∵$\frac{π}{2}＜α＜β＜\frac{3π}{4}，cos（{α-β}）=\frac{12}{13}，sin（{α+β}）=-\frac{3}{5}$，
∴-$\frac{π}{4}$＜α-β＜0，π＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，
∴sin（α-β）=-$\frac{5}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
∴sin2α=（-$\frac{5}{13}$）×$\frac{12}{13}$-$\frac{4}{5}$×（-$\frac{5}{13}$）=-$\frac{16}{65}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．