Question

11．如圖所示的三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，AA₁=1，AB=2，BC=4，∠ABB₁=45°．
（1）證明：AB₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）若點D為BC中點，求點C到平面AB₁D的距離．

Answer 1

分析 （1）過點B₁作B₁N⊥AB．說明△BNB₁為等腰直角三角形，證明AB₁⊥BB₁．AA₁⊥BC．AB⊥BC，推出BC⊥平面ABB₁A₁，得到BC⊥AB₁，然后證明AB₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）點D為BC中點，則點C到平面AB₁D的距離=點B到平面AB₁D的距離，利用等體積方法，即可求解．

解答 （1）證明：如圖，過點B₁作B₁N⊥AB
∵∠B₁BN=45°，
故△BNB₁為等腰直角三角形，
∴B₁N=BN=1，
∴B₁B=$\sqrt{2}$，
∴AB₁⊥BB₁．
又∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥BC．
又AB⊥BC，且AB∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，∴BC⊥AB₁，
又∵BC∩BB₁=B，
∴AB₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）解：△AB₁D中，AB₁=$\sqrt{2}$，B₁D=$\sqrt{6}$，AD=2$\sqrt{2}$，∴AB₁⊥B₁D，
∴${S}_{△A{B}_{1}D}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$．
點D為BC中點，則點C到平面AB₁D的距離=點B到平面AB₁D的距離h，
由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{1}{3}×\sqrt{3}h$，∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴點C到平面AB₁D的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，點到平面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．