Question

2．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=\frac{1}{2}+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{4}{{4{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}$．
（1）寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為$（-1，\frac{1}{2}）$，直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|PA|•|PB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式即可得出．
（2）將直線l的參數(shù)方程與橢圓C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{4}{{4{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}$，可得4ρ²sin²θ+ρ²cos²θ=4，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）∵點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部，故l與C恒有兩個(gè)交點(diǎn)，即α∈R，將直線l的參數(shù)方程與橢圓C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，
得${（-1+tcosα）^2}+4{（\frac{1}{2}+tsinα）^2}=4$，整理得（1+3sin²α）t²+（4sinα-2cosα）t-2=0，
則$|PA|•|PB|=\frac{2}{{1+3{{sin}^2}α}}∈[\frac{1}{2}，2]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式、直線的參數(shù)方程的應(yīng)用、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．