Question

5．設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a≥b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，過點(diǎn)O且斜率為$\frac{1}{6}$的直線與直線AB相交M，且$\overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BM}$．
（Ⅰ）求橢圓E的離心率e；
（Ⅱ）PQ是圓C：（x-2）²+（y-1）²=5的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)，求橢圓E的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出A（a，0），B（0，b），M（$\frac{3a}{4}$，$\frac{1}{4}b$），從而${k_{OM}}=\frac{3a}=\frac{1}{6}$，進(jìn)而a=2b，由此能求出橢圓E的離心率．
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的方程為$\frac{x^2}{{4{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-2）+1，與橢圓聯(lián)立得（1+4k²）x²-8k（2k-1）x+4（2k-1）²-4b²=0，由此利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式，求出a，b，由此能求出橢圓E的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a≥b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，
∴A（a，0），B（0，b），$\overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BM}$，∴M（$\frac{3a}{4}$，$\frac{1}{4}b$）．
∴${k_{OM}}=\frac{3a}=\frac{1}{6}$，解得a=2b，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴橢圓E的離心率e為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴橢圓E的方程為$\frac{x^2}{{4{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，即x²+4y²=4b²（1）
依題意，圓心C（2，1）是線段PQ的中點(diǎn)，且$|PQ|=2\sqrt{5}$．
由對(duì)稱性可知，PQ與x軸不垂直，
設(shè)其直線方程為y=k（x-2）+1，代入（1）得：
（1+4k²）x²-8k（2k-1）x+4（2k-1）²-4b²=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{8k（2k-1）}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{{（2k-1）}^2}-4{b^2}}}{{1+4{k^2}}}$，
由$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=2$得$\frac{8k（2k-1）}{{1+4{k^2}}}=4$，解得$k=-\frac{1}{2}$．
從而x₁x₂=8-2b²．
∴$|PQ|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{5}\sqrt{2{b^2}-4}=2\sqrt{5}$．
解得：b²=4，a²=16，∴橢圓E的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓方程的求法，考查橢圓、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想，是中檔題．