Question

20．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{3}=1$的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)該橢圓上一點(diǎn)，且$\frac{{sin∠P{F_1}{F_2}+sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠{F_1}P{F_2}}}=2$，則正數(shù)m的值為4或$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，在△PF₁F₂中，由正弦定理可得$\frac{{sin∠P{F_1}{F_2}+sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠{F_1}P{F_2}}}$=$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{2a}{2c}$=$\frac{a}{c}$=2，變形可得a=2c，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)可得b²=a²-c²=$\frac{3}{4}$a²，進(jìn)而分2種情況討論橢圓焦點(diǎn)的位置，分別求出m的值，綜合即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，在△PF₁F₂中，$\frac{{sin∠P{F_1}{F_2}+sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠{F_1}P{F_2}}}$=$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{2a}{2c}$=$\frac{a}{c}$=2，
即a=2c，
則b²=a²-c²=$\frac{3}{4}$a²，
對(duì)于橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{3}=1$，分2種情況討論橢圓的焦點(diǎn)的位置：
若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，有b²=$\frac{3}{4}$a²，則有3=$\frac{3}{4}$m，解可得m=4，
若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，有b²=$\frac{3}{4}$a²，則有m=$\frac{3}{4}$×3=$\frac{9}{4}$，
故m的值為4或$\frac{9}{4}$；
故答案為：4或$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是由正弦定理分析a、c的關(guān)系，注意要對(duì)焦點(diǎn)為位置分情況討論．