Question

19．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax，其中a∈R，$g（x）=-\frac{1}{2}{x^{\frac{3}{2}}}$，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$a＜{（{x^2}-\frac{1}{2}{x^{\frac{1}{2}}}）_{min}}$，設(shè)$h（x）={x^2}-\frac{1}{2}{x^{\frac{1}{2}}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f'（x）=-3x²+a，
①當(dāng)a≤0時，f'（x）≤0，f（x）在R上單調(diào)遞減，
②當(dāng)a＞0時，$f'（x）=-3（{x^2}-\frac{a}{3}）=-3（x+\sqrt{\frac{a}{3}}）（x-\sqrt{\frac{a}{3}}）$，
令f'（x）＞0得$x＜-\sqrt{\frac{a}{3}}或x＞\sqrt{\frac{a}{3}}$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$），（$\sqrt{\frac{a}{3}}$，+∞），
令f'（x）＜0得$-\sqrt{\frac{a}{3}}＜x＜\sqrt{\frac{a}{3}}$，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）；
（2）設(shè)$F（x）=f（x）-g（x）=-x3+ax+\frac{1}{2}{x^{\frac{3}{2}}}$，
∵f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立，
∴F（x）＜0在（0，1]上恒成立，
∴$a＜{x^2}-\frac{1}{2}{x^{\frac{1}{2}}}$在（0，1]上恒成立，即$a＜{（{x^2}-\frac{1}{2}{x^{\frac{1}{2}}}）_{min}}$，
設(shè)$h（x）={x^2}-\frac{1}{2}{x^{\frac{1}{2}}}$，則$h'（x）=2x-\frac{1}{{4\sqrt{x}}}=\frac{{（2\sqrt{x}-1）（4x+2\sqrt{x}+1）}}{{4\sqrt{x}}}$，
令h'（x）=0，則$（2\sqrt{x}-1）（4x+2\sqrt{x}$f（x）+1）=0，
又∵$（4x+2\sqrt{x}+1）＞0$，∴$（2\sqrt{x}-1）=0$，∴$x=\frac{1}{4}$，
又∵$x∈（0，\frac{1}{4}）$時，h'（x）＜0，遞減，
$x∈（\frac{1}{4}，+∞）$時，h'（x）＞0，f（x）遞增，
∴$x=\frac{1}{4}$時，h（x）有最小值$h（\frac{1}{4}）=-\frac{3}{16}$，
∴$a＜-\frac{3}{16}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．